előadás №6

Interpoláció, Lagrange interpoláció polinomok és a Newton.

Általános probléma az interpoláció. Parabolikus interpoláció.

Megoldásában sok probléma függvények segítségével meghatározott táblázatban. Például, ha azt látjuk, empirikusan értéksort függvény kiszámítására az értékeket, amelyek nem szerepelnek a táblázatban, lehetőség van arra, hogy válasszon egy másik, egyszerűbb funkció, oly módon zárja be ezt.

Vannak különböző módon, hogy ezeket a funkciókat. Egyikük - interpoláció.

Általában, a probléma a interpolációt az alábbiak szerint történik:

Legyen n + 1 a pont

adott függvény értékei

Szükséges, hogy vegye fel egy viszonylag egyszerű funktsiyuφ (x) kielégíti az alábbi feltételeket:

b) a többi érték az x a tartomány hozzávetőleges egyenlet nem teljesül

A funkció φ (x) nazyvaetsyainterpoliruyuschey,

A folyamat az építkezés - Interpolálással

és x0, x1, x2, ..., xn. amelyben a értéke interpoláló funkciót kell egybeesik az előre meghatározott függvény értékei interpolációs -uzlami.

Egy pont x. ahol a számított értéke f (x) keresztül funktsiiφ (x). nazyvaetsyatochkoy interpoláció.

Parabolikus interpoláció. Interpoláló függvény választása általában egy bizonyos osztály műveleteit. Gyakran, mint ilyen a funkciót átveszi mnogochlenFn (x), amely nazyvaetsyainterpolyatsionnym polinom.

Interpoláció segítségével polinom úgynevezett parabolikus interpolációt, geometriai amelyek jelentése, hogy a grafikon a f (x) helyébe egy parabola-gráf mnogochlenaFn (x); míg grafika imeyutn + 1 közös pont.

Így a probléma a parabolikus interpolációt az alábbiak szerint történik:

Legyen a függvény értékei az f (x) vannak beállítva n + 1 interpolációs csomópont

Mint interpoláló polinom függvények választani

és megkövetelik, hogy a csomópontok interpolációs polinom-interpoláció értékek egybeesnek az értékek ezt a funkciót:

Ahhoz, hogy kiszámítsuk az ismeretlen polinom együtthatóit alapján a feltétel (4) alkotnak egyenletrendszert:

Forma a meghatározója a rendszer (5):

Ez meghatározó ismert egy folyamán magasabb algebra mint Vandermonde meghatározó.

Mivel az interpolációs csomópontok x0, x1, x2, ..., xn különböző, akkor   0, ezért a lineáris rendszer (5) van egy egyedülálló megoldás, ami azt jelenti, a létezését és egyediségét az interpolációs polinomnak az Fn (x).

Meg kell jegyezni, hogy a különböző bejegyzéseket az interpolációs polinom használt különböző problémák megoldásában.

Lagrange interpolációs polinom

Feltételek szerint (1), (2), kimutatták, hogy működnek φ (x). mnogochlenn levelet a második fokozatot.

Ugyanakkor, az egyéb feltételek a polinom (6) nullának kell lennie, azaz a

Így fogalmaztuk a követelményeket a faktor pi (x). nevezetesen:

Faktor pi (x) polinomot nazyvayutvspomogatelnym stepenin.

Figyelembe véve az ingatlan (8) és az a követelmény, hogy a polinom pi (x) is stepenn. Azt írják:

ahol egy együttható ci.

Annak meghatározására, ci sor, hogy az a követelmény, (7). Ebből következik:

Azáltal, hogy a szubsztitúció (10) (9), így a végső expressziós PI (x):

Beépített polinom (11), például a ponton x0 kap znacheniep0 (x0) = 1, és más csomópontok - értékek nullával egyenlő.

A polinom p1 (x) tochkex1 1 lesz és a fennmaradó csomópontok egyenlő 0, stb

Így a kiegészítő polinom pi (x) teljesen megfelel a (7), (8), és a második fokozatot mnogochlenn-

Ez a Lagrange interpolációs polinommal.

Megjegyzés: Lagrange polinom megfelelő használata a feladat, hogy helyreállítsa az f (x). ha a pont közelebb van interpolyatsiix ktsentru rács.

Úgy véljük, f (x) függvény. Megadja a táblázat tartalmazza:

Következésképpen, épített polinom megfelel annak a feltételnek a fő (1).

Így az algoritmus vizsgálatok a következők:

állítsa váltakozva a pontok táblázat értékeit xi és az interpoláció, hogy megkapjuk a megfelelő értékeket funktsiifi (a feltételnek teljesülnie kell a megfelelően futó program (1) bekezdés).

beállítva az interpoláció értékeit több pixel, amelyek nem a háló csomópontjainak, és ellenőrizze a (2).

Hibabecslés Lagrange interpolációs képlet

A különbség Rn (x) nazyvaetsyaostatochnym tagja Lagrange-formula. ZnachenieRn (x) egyenlő a hiba, amely úgy kapjuk meg, az értékek f (x) értéket interpoláció mnogochlenaFn (x).

ez lehetséges a képlet a fennmaradó távú

(13) képletű felírható másképpen:

akkor megkapjuk a becsült maradék:

Példa. A funktsiiu = 2x megépíteni a Lagrange interpolációs polinom interpolálásával pont csomópontok

Kiszámoljuk a megfelelő függvény értékei:

Lagrange-féle képlet találunk:

Úgy becsüljük, a hiba, amely úgy kapjuk meg, a függvény az y = 2x mnogochlenomF3 (x). Negyedrendű származékot

A intervallum [-1; 2] funktsiya2x növekszik, így 0<2x <= 4.

A (15) képletű kapjuk:

Figyelembe vett Lagrange polinom általában használják a problémát a helyreállítása f (x). amikor az interpolációs pont közelebb van a központja a rács.

Ha az interpolációs pont x közelebb helyezkedik el a széleit a rács, akkor jobb, ha Newton polinom. Két lehetőség van:

interpolációs pont x vblizipervogo setkih0 csomópont (NyutonaI polinom);

interpolációs pont x vbliziposlednego setkihn csomópont (NyutonaII polinom).

Megjegyzés. Építőipari Lagrange polinom alapján sub mnogochlenepi (x).

Az alapot a konstrukció fogalmát Newton polinom a véges különbség.

Mi határozza meg a fogalmát véges differencia.

Legyen a függvény táblázatot is tartalmaz egy állandó shagomh: