Bomlása elemi függvények Taylor
32.4. Bomlása elemi függvények Taylor
1.Razlozhenie számú f (x) = e x. Mivel f (n) (x) = e x. Ezután, minden rögzített a> 0 minden x (-a, a) és az összes n = 1, 2 egyenlőtlenséget
Így, az intervallum (-a, a) a függvény e x Tétel feltételei 7 (X0 = 0), és így a funkció e x expandáltatják egy Taylor sorozat bármilyen véges intervallumban, és ennélfogva az egész tengelyen. Megjegyezzük, hogy ebben az esetben, az f (n) (0) = 1, megkapjuk (lásd. (32,47))
Emlékezzünk, hogy a Sec. 31,1, azt találtuk, hogy számos, Z n / n. teljesen konvergál a komplex síkban (azonban függetlennek kell lennie az előző tétel szerint az első Abel és a konvergencia bizonyított itt (32.50) a teljes valós szám tengely). A (32,50), amely valós z = x egyenlő annak összege e x. Abban az esetben, lényegében teljes befejezésére összege z jelölésére hasonló E Z. Így, a képlet
hogy lényegében komplex számok Z az a meghatározás, a függvény e z.
Mivel bizonyos funkciót E Z. ZC. nem csak egyezik az érvényes z = x ismert exponenciális függvény e x. hanem megtartja egy komplex régióban tulajdonságok száma jelzi a tényleges argumentuma a függvény. Például,
Valóban, a sorozat kapott (32.51) a z = z1 és z = z2. Teljesen egyetértek, ezért meg kell szorozni Terminusonként; így, hogyan lehet ebben a sorozatban is konvergál teljesen, tagjait is megoldható bármilyen sorrendben. Elhelyezés az összes feltételt termékeket tartalmazó Z1 és Z2 fokos azonos összeget arányok egyenlő n-nel. intézkedik ezek a csoportok n emelkedő. majd szaporodnak, és ossza szét őket 1 / n.
2. A bővítés a soraiban x sh és ch x. Cseréje a képletben (32,50) az X -x (ez azt jelenti, egyszerűen megváltoztatja a jelölést), megkapjuk
A jobb oldalán ezen képletek egyediségét bővítették a feladatok hatalmon sorozat Taylor sor funkciók x ch és sh x.
Mivel a függvény e Z jelentése minden komplex értékek az érvelés z. van egy jelentős komplex értékek az érv lehet terjeszteni hiperbolikus függvények ch x és sh x, amivel
Bizonyos funkciók, így ch és sh z z z a komplex bővült hatványsort (32.54) és (32.55) (ahol meg kell írni, hanem x z) közelítik a komplex síkon.
3. A bővítés a soraiban sin x és cos x. Euler formula.
Ha f (n) (x) = sin x. akkor f (n) (x) = sin (x + n / 2), n = 1, 2 (lásd a 11.1 ..), így | f (n) (x) | <1 для всех действительных x. Согласно теореме 7 отсюда следует, что функция sin x раскладывается в степенной ряд на всей действительной числовой оси. Вспомнив формулу Тейлора для синуса (см. п. 14.2), получим для него ряд Тейлора
Érvelve hasonlóan cos x és emlékeztetve Taylor-formula, megkapjuk
Az első tétel Ábel sorozat a jobb oldali (32.56) és (32.57) konvergálnak az egész komplex síkon. Ez lehetővé teszi, hogy kiterjesszék a sinus és cosinus értéke, hogy komplex érv, beállítás minden olyan komplex z
A komplexum könnyen közötti kapcsolat létrehozása az exponenciális és trigonometrikus függvények. Cseréje z számos (32.51) az első iz. majd -iz. megkapjuk
Összehasonlítva azokkal az (32.58) és (32.59), azt látjuk, hogy
Meghatározásával ch z és sh z értékeket a komplex változó z (cm. Felett), a képlet (32,61) felírható
Így a komplex tartományban cos Z lehet beszerezni a függvény ch Z egy változás a változó Z = i, és a függvény sin Z - sh z forgási és ugyanazon felosztás i:
ch Z = CH I = cos, sh z = sh i = i sin.
Képletek (32,61) is következik azonnal képletű
Egyenletek (32.61) és (32.62) nevezzük Euler-képlet. Ezek, természetesen, szintén érvényes a valós érték z.
Ha a fenti (32,62) Z = - egy valós szám, akkor
Ebből következik, hogy a modulus a komplex szám az űrlap, R. 1:
= (Cos + i sin 2 2) 1/2 = 1.
Tól képletű (32,63) az is következik, hogy Z jelentése egy komplex szám a modulus és argumentum r, t. E.
Z = R (cos + i sin), felírható
Elhelyezés itt r = 1, =, és így, Z = -1, megkapjuk
- lenyűgöző formula Euler nyitott, a kommunikációs eszközök között a számok -1 ,, i és e. Meglepő, mert ezek a számok nyíltak a tanulmány a matematikusok meglehetősen távol egymástól problémák száma -1 jelent meg, amikor kiderült, hogy a bevezetése negatív számok kivonás érdemes minden megrendelt számpár (ezenkívül bizonyult a negatív számok kényelmes testhőmérséklet, ha összehasonlítjuk a víz fagyáspontja, ha a magasság és mélyedések a földön tengerszinthez képest, stb.) ..; szám az aránya kerülete az átmérő, az imaginárius egység i lehetővé teszi, hogy megoldja minden másodfokú egyenlet valós együtthatók, és e számot jelent bázis az exponenciális függvény, amely egybeesik annak származéka abban. Ezért nem meglepő, hogy a város Kingston Kanada homlokzatán a főépületben Queen University, akkor egy hatalmas Euler-képlet: = -1.
Tól képletű (32,63), hogy a váratlan első pillantásra, E Z tulajdon funkció - ez periodikus a komplex síkban és idő megegyezik 2 i. Sőt, mivel
cos 2 + i sin 2 = 1.
majd bármely z van
Ebből következik, hogy az inverz függvény E Z funkció jelöljük ln Z és egyenlet által definiált
Ez a komplex területen több értékes funkciót. Mivel a koncepció egy komplex változó E Z exponenciális függvény és egy logaritmikus függvény ln z. lehetséges bármely komplex számok z és w mértékének meghatározására a
Exercise. Bizonyítsuk be, hogy az értékek i i valós számok.
Abból a tényből, hogy a funkció E Z 2 egy időszak i. Ebből következik, hogy a funkciók cos z sin Z és periódusidővel 2 komplex értékek az érvelés:
Hasonlóképpen sin (z + 2) = sin z. ZC.
Megjegyzés. A koncepció a komplex változó funkció hasznos a tanulmány a funkciók egy valós érv, hogy csak valós értékeket. Megmutatjuk ebben a példában számítása az integrál. Alkalmazása Euler formula
(M. A kiszámítása ez integrál Sec. 22,4).
4. A sorozat expanziós ln (1 + x). Szerint a Taylor-formula
Mi írjuk a fennmaradó rn (X) általános képletű formájában Lagrange. mert
Ha az x = -1 sorozat eltér, hiszen tagjait csak mínusz eltérnek tagjai a harmonikus sor, amely, mint tudjuk, a divergens. Divergál a jobb oldalon általános képletű (32,66), és minden x. nagy abszolút egység érték, mivel ebben az esetben a sorozat tagjai nem vész el; Sőt,
Ha használjuk a második tétel Abel (Sec. 32,1), a csillaggal jelölt választható csökkentett programot, akkor az expanziós funkciót ln (1 + x) hatványsorba nyerhető közvetett módon, de rövidebb utat. Tekintsük a következő sorozat, amely összeget tekintve végtelen mértani:
A szám a jobb oldalon konvergál egyenletesen intervallumon [-q, q], 0 A egyenletes konvergenciája (32,67) Ebből következik, hogy akkor lehet integrálni termwise 0 és X (-1,1) (Tétel 8 a Sec. 31,4). Ezáltal az integráció, megkapjuk
vagy megadhatja a jobb oldalon egy összegző jel,
Így szerint a fenti tétel, a sorozat a jobb oldalon az egyenlet konvergál az intervallum (-1,1), és az alapján a Leibniz (Tétel 9 a Sec. 30,5), és konvergál azt egy pont x = 1. szerint tehát a második Abel-tétel (tétel 3 * p. 32,1), teljes száma ln (1 + x) = (-1) n +1 xn / n folytonos a [0,1] intervallumban. De mivel a funkció ln (1 + x) is folyamatos ezen intervallumban, és az intervallum (-1,1) megegyezik az összeg a sorozat, a hagyta x 1, így a funkció ln (1 + x) és az összeg szám (-1) n +1 xn / n esik egybe, és ha x = 1. tehát visszatérünk a bomlás a függvény ln (1 + x) hatványsorba intervallumban (-1,1] (lásd. (32.66) ).
5. Az elektromos sorfejtése mértéke a binomiális. Taylor képlet a függvény formájában
A megfelelő számot hívják binomiális mellett a mutató. Azt a formát
Ha egy természetes szám, akkor ez a sorozat tartalmaz csak véges számú tagra nem egyenlő 0, és alakul egy ismert képlet binomiális
Azt feltételezzük, hogy van egy természetes szám, és x 0, akkor minden tagja a sorozat (32,69) nem egyenlő 0-val Vizsgáljuk meg az abszolút konvergencia segítségével d'Alembert-féle teszt. elhelyezés
Ezért a sorozat (32.69) konvergál feltétlenül az | x | <1 и, поскольку этот ряд степенной, расходится при |x |> 1. Bizonyítsuk be, hogy az összeg a sorozat (32.69) az intervallum (-1,1) egy függvény. Ehhez megvizsgáljuk a fennmaradó rn (x) Taylor-formula (32,68), az írás azt a formáját Cauchy. mint
egy (x) a faktor egy tagja a binomiális sor egy jelzője - 1, és mivel azt fent látható, hogy bármely binomiális sor konvergál az intervallum (-1,1), majd a