Az egyenletek megoldása az egész számok, tartalmak platform

oldatok egyenletek egészek egyik legrégebbi matematikai problémákat.

Algebrai egyenletnek egész együtthatós, hogy egynél több ismeretlen, amikor a feladat, hogy megtalálják azt egészben vagy racionális megoldás az úgynevezett határozatlan vagy Diophantine nevében a görög matematikus Diophantosz, aki tanulmányozta a problémát megoldani az ilyen egyenletek. Egyes jelentések szerint Diophantosz élt 364 évvel ie. e. Csak annyit tudunk, egyfajta életrajz Diophantosz, amely a legenda szerint faragott a sírkövére, és egy feladat-puzzle: „Isten megadta neki, hogy fiú-hatoda az élet; hozzátéve, hogy ez a tizenkettedik része, eltakarta az arcát a lefelé; A hetedik a gyújtott rá a fény a házasság és öt év elteltével a házasság adott neki egy fia. Ó, jaj! A szerencsétlen néhai gyermek ható intézkedések fele teljes apja életét, ő söpört kegyetlen sors. Négy évvel később, vigasztaló bánata jutott a tudomány a számok, ő [Diofant] befejezte az életét. "

A célja ennek a cikknek, hogy fontolja meg néhány megoldási módjait, diofantikus egyenletek. Sok ilyen módszerek igénybevételével néhány fogalmak és algoritmusok oszthatóság elmélet ebben az összefüggésben, felidézzük azokat.

Meghatározása 1.Naibolshim közös osztója (GCD) egész a1, a2, ..., an hívják ezt a pozitív közös osztó, hogy osztható más közös osztója ezeket a számokat.

2. tétel Ha akkor léteznek egészek x és y olyan, hogy egyenlőség.

Megjegyzés. Ez az egyenlet az úgynevezett lineáris kombinációja, vagy a lineáris reprezentáció a GCD keresztül ezeket a számokat.

Meghatározása 3.Chisla a és b nevezzük relatív prím, ha a legnagyobb közös osztója a számok egyenlő 1.

4. Tétel (egy tétel a maradékos osztás) A bármely egész szám, mint egész, és már csak egész számok q és r, oly módon, hogy.

Megjegyzés. Ha q az úgynevezett részleges hányadosok és r - a fennmaradó körzet egy b-vel. Különösen akkor, ha. majd osztva.

Től 4. tétel az következik, hogy egy rögzített egész szám, m> 0, és bármely egész szám lehet kifejezni az alábbi típusok:

Sőt, ha lesz, ha

A következő tétel alapú módszer megtalálása a legnagyobb közös osztó az egész számok.

Tétel 5.Pust a és b - két szám, 0 majd.

Ezt a módszert nevezik euklideszi algoritmus. A probléma megtalálni a legnagyobb közös osztója a és b számok csökken egyszerűbb probléma megtalálni a GCD b és r. . Ha r = 0 valamit. Ha azonban az érveket ismétlik, kezdve b és r. Az eredmény egy olyan lánc egyenlőségek:

Kapunk csökkenő sorozat A pozitív egész számok

amely nem lehet végtelen. Ezért van egy maradék nulla: legyen. A Tétel 10 a (**) következik, hogy.

1. A megoldás határozatlan első fokú egyenletek két változó egész

Vegyünk két megoldási módjainak Diophantine első fokú egyenletek két változó között.

Az algoritmus ennek a módszernek, úgy a példa megoldása egy adott egyenlet. A lépések a algoritmust kell alkalmazni, ha foglalkoznak ilyen egyenlet dőlt.

Példa 1.Reshit egyenlet egészek 5x + 8Y = 39.

1. Legyen az ismeretlen, amely a legkisebb arányban (ebben az esetben, x), és kifejezni azt a másik ismeretlen. .

2. Jelölje ki a teljes részét. . Egyértelmű, hogy x jelentése egész szám, ha a kifejezés lenne egy egész, amely viszont, kerül sor, ha a szám 4 - 3y osztható 5.

3. Bemutatjuk további integer peremennuyuz alábbiak szerint: 4 -3y = 5Z. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenlet ugyanolyan típusú, mint az eredeti, de kevesebb együtthatók.

4. Oldja meg már az y változó, az érvelés akárcsak 1., 2. .. Kiemelve egész részét, ezt kapjuk:

5. érvelve, mint korábban, egy olyan új peremennuyuu. 3U = 1 - 2Z.

6. kifejezni az ismeretlen a legalacsonyabb arány. Ebben az esetben a z változó. =. Igényes, hogy egész számú, megkapjuk: 1 - u = 2v. ahol u = 1 - 2v. Frakciók nincsenek többé, a süllyedés befejeződött (a folyamat folytatódik a MEA-k, amíg a kifejezés a következő változó marad frakciók).

7. Most kell, hogy „kelj fel”. Mi kifejezni az első keresztül a változó v z. akkor Y, majd x:

8. X általános képletű = 3 + 8v és y = 3 - 5V. ahol v - tetszőleges egész szám, képviseli az általános megoldás az eredeti egyenlet egész számok.

Megjegyzés. Így a süllyedés módszer magában foglalja első összefüggő expresszióját egyetlen változó egy másik, míg a képviselete a változó marad frakciókat, majd egymás után „hegymászó” fel a lánc egyenletek az általános megoldás.

Ez az egyenlet és egyéb lineáris egyenlet két ismeretlen lehet megoldani egy másik módszerrel, az euklideszi algoritmus. Továbbá ki lehet mutatni, hogy az egyenlet a fent tárgyalt mindig van egy egyedi megoldást. Bemutatjuk itt az elmélet a nyelv, amelynek alapján az algoritmus megoldására határozatlan egyenletek az első fokú állhat két változó egészek.

Tétel 1.1.Esli az egyenletben, az egyenlet, a, legalább egy megoldás.

2.2.Esli tétel az egyenletben, és nem osztható, akkor az egész egyenletnek nincs megoldás.

3.3.Esli tétel az egyenletben, és ez felel meg az egyenletet, ahol.

4.4.Esli Tétel az egyenletben, akkor az összes szerves oldatokat ennek az egyenletnek van zárva a képletekben:

ahol x0, y0 - szerves egyenlet megoldása - bármilyen egész szám.

Mint fentebb említettük, fogalmazott a tétel lehetővé teszi számunkra, hogy a következő algoritmus megoldások egész szám formájában az egyenlet.

1. Keresse meg a legnagyobb közös osztó az a és b számok,

és ha nem osztható, akkor az egész egyenletnek nincs megoldás;

2. Osszuk egyenlet termwise on, míg a fogadó egy egyenletet, ahol.

3. Find egész megoldása (x0, y0) egyenlettel 1, mint a képviselete a lineáris kombinációja a számok és;

4. létrehozása általános képletű egész egyenlet megoldásai

ahol x0, y0 - szerves egyenlet megoldása - bármilyen egész szám.

Példa 2.Reshit egyenlet egész számok 407h - 2816y = 33.

Mi algoritmust használja áll.

1. Az euklideszi algoritmus, azt látjuk, a legnagyobb közös osztó 407 és 2816:

2816 = 407 + 374 · 6;

= 11 · 33 3. Következésképpen (407.2816) = 11, és a 33 osztva 11

2. Osszuk mindkét oldalát az eredeti egyenlet 11, megkapjuk az egyenlet 37h - 256y = 3, és a (37, 256) = 1

3. A euklideszi algoritmus talál egy lineáris ábrázolása számokat 1-től 37 és 256.

Expressz egyik utolsó egyenlet, majd egymás után a lánc a egyenlőségek kifejezi 3; 34, és a kapott kifejezéseket, helyettesítjük a kifejezés 1.

1 = 34 - 3 × 11 = 34 - (37 - 34 · 1) · 11 = 34 · 12-37 · 11 = (256-37 · 6) · 12-37 · 11 =

- 83 · 37 - · 256 (-12). Így, 37 + (- 83) - 256 + (-12) = 1, így a számpár = x0 - y0 = 83 és - 12 egy megoldás a 37h - 256y = 3.

4. Vedd általános képlet döntések eredeti egyenlet

ahol t - bármilyen egész szám.

Megjegyzés. Azt bizonyítja, hogy ha a pár (x1, y1) - integrál egyenlet megoldása, ahol, akkor az összes szerves oldatok ez az egyenlet által adott :.

2. Módszerek megoldása néhány nemlineáris egyenletek Diofantikus

Közös megközelítések nemlineáris egyenletek Diophantine igen összetettek, és csak hosszas képzés elmélete számokat. Itt meg néhány egyenletek és alapvető módszereit azok megoldásait.

Eljárás faktoring

Az eredeti egyenlet csoportosításával szempontjából, és a közös vonás, hogy a forma, amikor a bal oldalon az egyenlet a termék a faktorokat tartalmazó ismeretlen, és a jobb oldalon van egy szám. Úgy véljük, minden osztói számának jobb oldalán az egyenlet. Tanulmányt, amelyben minden egyes faktor a jobb oldalon az egyenlet egyenlő a megfelelő osztóját áll a jobb oldalon az egyenlet.

Példa 3.To elhatározás egyenlet integer chislahy3 - x3 = 91.

Határozat. 1) használata Rövidítés Formula megszorozzuk a jobb bontható factorizations:

2) Írja ki az összes osztója 91 ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) kutatásokat végeznek. Figyeljük meg, hogy minden egész szám x és y

következésképpen mind kofaktorokat a bal oldalon az egyenlet pozitívnak kell lennie. Ezután (1) egyenlet készlet egyenletek egyenértékű:

4) a szándékkal rendszer, megkapjuk az első rendszer megoldások (5; 6), (-6, -5); a harmadik (-3, 4), (- 4; 3); második és negyedik egész megoldások nem.

A: Az egyenlet (1) négy oldatok (5; 6); (-6, -5); (-3, 4); (-4, 3).

Példa 4.Reshit egész számokban egyenletben x + y = xy.

Határozat. 1) Transzfer minden tagja az egyenlet a bal és a mindkét oldalán a kapott egyenlet hozzá (-1): x + y - xy - 1 = - 1

Csoport az első - a negyedik és a második - harmadik kifejezések és vegye ki a közös tényezők, ennek eredményeként kapjuk a következő egyenletet: (X - 1) (y - 1) = 1

2) A terméket a két egész szám lehet, értéke 1, ha, és csak akkor, ha mindkét szám egyenlő, hogy vagy 1, vagy (-1).

3) írása a megfelelő rendszer egyenletek és megoldásuk, hogy megkapjuk a fenti egyenlet. A: (0,0) és (2,2).

Példa 5.Dokazat, hogy az egyenlet (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nincs megoldások egészek.

Határozat. 1) lebomlanak a bal oldalon az egyenlet és faktoring szakadék egyenlet mindkét oldalát 3, ennek eredményeként kapjuk a következő egyenletet:

2) száma elválasztó 10. ± 1, ± 2, ± 5 ± 10. Megjegyezzük továbbá, hogy az összeget a tényezők bal oldalán (2) egyenlet értéke 0. Ez könnyen ellenőrizhető, hogy az összege bármely három a több számok térelválasztó 10, így a terméket 10 nem lesz egyenlő 0 Következésképpen, az eredeti egyenlet nem megoldható egész számok.

maradékok vizsgálati módszer

Ez a módszer vizsgálata alapján lehetséges marad a bal és jobb oldalán az egyenlet osztva egy rögzített pozitív egész.

Tekintsük a példát, amely felfedi a lényege ennek a módszernek.

Példa 6.Reshit egész számokban egyenletben x2 + 1 = 3y.

Határozat. 1) Megjegyzendő, hogy a jobb oldalon a 3. egyenlet van osztva egy tetszőleges egész y.

2) vizsgálja meg, mely maradékok lehetnek, ha osztva három bal oldalán az egyenlet.

A tétel osztás maradékát egész x vagy 3 részre, vagy ha osztva három, így maradékot 1 vagy 2.

Ha X = 3k. A jobb oldali a 3. egyenlet nem megosztott.

Ha x = 3k + 1, akkor x 2 + 1 = (3k + 1) 2 + 1 = 3m +2, ezért ismét a bal része nem osztható 3.

Ha x = 3k + 2, akkor x 2 + 1 = (3k + 2) 2 + 1 = 3m +2, ezért ebben az esetben a bal oldalon az egyenlet nem osztható három.

Tehát megvan, hogy semmilyen egészek x bal oldalon az egyenlet nem osztható 3-mal, annak ellenére, hogy a bal oldali egyenlet három bármelyik értéke y változó. Következésképpen az egyenlet egész nincsenek megoldásokat.

Példa 7.Reshit egészben chislahx³ - 3y³ - 9z³ = 0.

Határozat. 1) Nyilvánvaló, hogy a megoldás az egyenlet lesz három szám (0, 0, 0).

2) Ismerje meg, ha az egyenletnek más megoldások. Ahhoz, hogy ezt elérjük, átalakítja a egyenlet formájában

Mivel a jobb oldalon az egyenlet osztható 3, bal három köteles tehát például 3 - prímszám x elosztjuk 3, azaz x = 3k ... helyettesítheti ezt a kifejezést az egyenlet (3): 27k 3 = 3y ³ + 9Z ³, ahol

Következésképpen, y ³ osztható 3 és y = 3m. Behelyettesítve ezt a kifejezést a (4) egyenlet: 9k 3 = 27m ³ + 3Z ³, ahol

Másfelől, ebből az egyenletből következik, hogy Z3 jelentése osztva 3, és z = 3n. Behelyettesítve ezt a kifejezést az (5), azt látjuk, hogy a k 3 oszthatónak kell lennie 3.

Így kiderült, hogy a szám megfelel az eredeti egyenlet többszörösei három és hányszor nem osztotta el újra a 3 kell készítenie többszörösei három. Csak egész ennek a feltételnek megfelelő nulla lesz, azaz, az oldatot ennek az egyenletnek (0, 0, 0) .., ami egyedi.

Ellenőrző feladat №1

M.9.1.1. Miután megoldotta a problémát, először helyezte a cikket, hogy meghatározza, hogy hány éves Diophantosz élt.

M.9.1.2. Oldjuk meg az egyenletet egészek

M.9.1.3. Keresse a születésnapom, ha a számok összege egyenlő a termék a születési dátum a 12 szoba és a születési hónap 31 380.

M.9.1.4. Egy darab vezeték hossza 102 cm kell darabokra vágva 15 cm hosszú és 12 cm-es, úgy, hogy az egész huzalt használtunk. Hogyan kell csinálni?

M.9.1.5. Oldjuk meg az egyenletet egészek

M.9.1.6. Igazoljuk, hogy az x 2 - y 2 = 30 nincs megoldások egészek.

1. Bashmakova, IG Diophantosz és Diophantine egyenletek. - M. Science 1972.

4. Babinski, IL feladatok matematikai olimpián. - M. 1975.

8. Sierpinski, W. A egyenletek megoldása az egész számok. - M 1961.

9. Perelman, YI Entertaining algebra. - M. Science 1975.