Az egyenletek megoldása az egész számok, a szociális háló a pedagógusok
A döntés egész algebrai egyenletek két ismeretlen az egyik legrégebbi matematikai problémákat. Ezek a feladatok részt vettek a legkiemelkedőbb matematikusok az ókor, mint például a görög matematikus Pythagoras (VI században), az alexandriai matematikus Diophantosz (III században), Fermat, L. Euler (XVIII (XVII.) ) Zh.L.Lagranzh (XVIII század), P.Dirihle (XIX század), K.Gauss (XIX század), P.Chebyshev (XIX sz.) és még sokan mások.
oldatok egyenletek egész fontos feladat a modern matematika.
A felkészülés az olimpiai játékok, a versenyzést, diákok találkoznak feladataival javasol egyenlet két változóval. A fiúk a vágy, hogy megtanulják, hogy ezeket az egyenleteket lehet megoldani, és milyen módszereket alkalmaznak a problémák megoldására, azok mind a megoldási algoritmus.
Ennélfogva a határozott célja a kutatás:
- vizsgálják az alapvető technikákat és módszereket egyenletek megoldására egész számokban.
Célja továbbá, hogy:
- szintjének növelése matematikai kultúra tanulók;
- a készségek fejlesztése a független kutatás a matematikában.
reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx
Az Oktatási Minisztérium a Köztársaság Baskíria
Városi Kerületi Zilairi járás
Városi oktatási intézmény költségvetési
"Másodlagos s.Ivano Kuvalat-iskola"
Verseny kutatás
keretében a Kis Tudományos Akadémia diákok
Köztársaság Baskíria kategóriában a „Matematika”
1. Módszerek egyenletek megoldására egész számokban. Példák. 4
1. módszer csoportosítása szempontjából, és hogy a közös tényező ki a zárójelben 4
2. eljárás Expression egy ismeretlen egy másik szelekciós egész részét, és egy maradékot 5
3. Bevezetés Egy új módszer változó 5
4. módszer bemutatása a bal oldalon az egyenlet, mint az összege nem negatív értelemben 6
5. A döntés módszerrel tulajdonságok beindító 7
6. Az eljárás döntés figyelembe véve az egyenletesség és oddness kifejezések 7
Módszere 7. A határozat figyelembevételével maradéka osztály szám 8
8. Az eljárás egyenletek megoldására két változóval, mint egy négyzet képest az egyik változó 8
Irodalom 10
1.Gruppirovka szempontjából, és hogy a közös tényező ki a zárójelben. Bomlása több áll a jobb oldalon az egyenlet, faktoring. Következtetések a bal oldalon az egyenlet jobb osztók.
2.Vyrazhenie keresztül egy másik ismeretlen, majd szelekciós egész része, és egy maradékot kapunk.
3.Vvedenie új változó.
4. bemutatása a bal oldalon az egyenlet, mint az összege nem negatív értelemben.
5. Az oldatot használva prímszám tulajdonságok.
6. Döntés figyelembe véve paritás és oddness kifejezéseket.
7. A határozat figyelembevételével maradéka osztály számát.
8. Az egyenletek megoldása a két változó, mint egy négyzet képest az egyik változó.
oldatok egyenletek egészek egyik legrégebbi matematikai problémákat. A legnagyobb virágzása ezen a területen a matematika elérte az ókori Görögországban. A fő forrása, jött le, hogy mi az időben, ez a munka Diophantosz - „számtani”. Diophantosz -ról és kibővített, amíg tapasztalatokat szerzett a megoldás határozatlan egyenletek egész számok.
A leghíresebb, Diophantosz megoldható az a probléma, „a bővítés két négyzet.” Ez egyenértékű a jól ismert Pitagorasz tétel. Ez a tétel ismert volt Babilonban, talán ez volt ismert az ókori Egyiptomban, de ez volt az első bizonyított a Pitagorasz iskolában. Volt a neve egy csoport érdekelt a filozófia, a matematika, miután az alapító a Pitagorasz iskola (kb. 580-500g. BC)
Az élet és a munka Diophantosz zajlott Alexandria, gyűjtött és megoldani ismert, és dolgozzon ki új célokat. Később össze őket egy nagy munka „című számtani.” A tizenhárom könyvek része volt a „számtani”, csak hat maradt fenn a középkorból vált ihlető forrása a matematikusok a reneszánsz.
- Módszerek egyenletek megoldására egész számokban. Példák.
1. módszer csoportosítása szempontjából, és hogy a közös tényező ki a zárójelben.
m 2 - n 2 = (m + n) (m - n).
mert m ∈ N. n ∈ Ν a m + n> m - n. íme négy lehetséges:
Válasz: (1007; 1006); (337; 334); (97; 86); (47; 14)
Az 1. példa, I. csoportosításával kifejezések, és a közös faktor az eredeti egyenletet vezetett olyan formában, ahol a termék a tényezők a bal oldalon az egyenlet tartalmazó ismeretlen, és a jobb oldalon van egy szám. Akkor úgy minden osztója a számot a jobb oldalon az egyenlet, és következtetéseket von le a bal oldalon az egyenlet. Szintén folytassuk a 2. példában, de megoldani, hogy a egész számok.
2. példa: megoldani az egyenletet x 2 - x, - x + y = 1, ahol x és y egész számok.
x (x - y) - (x - y) = (x - y) (x - 1). 1 = 1 ⋅ 1 = (-1) ⋅ (-1), így két lehetséges esetet:
2. módszer az, hogy mi lesz kifejezni ismeretlen másik, majd válassza egész részét, és a maradékot.
3. példa egyenlet megoldásához 2 x 2 x 11 + - 2 xy + y = 5, ahol x és y egész számok.
2 x + 2 x 11-5 = 2 xy - y. 2 x + 2 x 11-5 = y (x 2 - 1), ez
Expressziója 2 x - 1 egész szám nulla nem készült. Most kell
2 x 2 x 11 + - 5 osztva egy fennmaradó x 2 - 1, például, egy oszlopot. kap
Mivel x és y - egészek, egész kifejezés kell álljon. Ez azért lehetséges, két esetben, és mikor.
3. módszer az, hogy olyan új változókat az egyenletek megoldása az egész számok.
4. példa az egyenlet megoldásához 7, (x + y) = 3 (x 2 - y 2 + xy), ahol x és y egész számok.
Hagyja, hogy a összege x és y p. és azok a különbség - q. Ezért x =. y =.
7 p 3 = ·. azaz 28, p = 3 (p 2 + q 3 2).
o. Amint látjuk, a végső egyenlet, nem-negatív és osztható 3, azaz p = 3 k. k ∈ Ζ.
28 · 3 k = 3 ((3 k) 2 + q 3 2),
28 · 3 k = 3 (k 2 + 9 3 2 q),
28 k = (k 2 + 9 3 2 q),
28, k = 3 + (k 3 2 + q 2).
k osztható 3, SO, K = 3 m. m ∈ Ζ.
28 · 3 m = 3 * (3 * (3 m) 2 + q 2),
28 m = · (3 · (3 m) 2 + q 2),
28 m = 27 m 2 + q 2; m (28-27 m) q = 2. Mivel 2 q ≥ 0, vagy m = 0, vagy m = 1.
Ha m = 0, k = 0, p = 0, q = 0, és ezért, x = y = 0.
Ha m = 1, k = 3, p = 9, Q 2 = 1. Ha q = 1, X = 5, y = 4, és ha q = 2 - 1
4. módszer az, hogy a bal oldalon az egyenlet, mint az összege nem negatív értelemben.
5. példa megoldani az egyenletet x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, ahol x és y egész számok.
Osztja tökéletes négyzetek:
(X 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4Y + 4) = 37;
(X - Y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Mivel x és y - egész számok, azok négyzeteit egész számok. A négyzetösszeg két egész szám, egyenlő 37, kapunk ha hozzá 1 + 36. Következésképpen:
(X - Y) 2 = 36 és (y + 2) 2 = 1 és (x - y) 2 = 1, és (y + 2) 2 = 36.
Megoldása a rendszer, akkor megoldást találni.
5. A döntés módszerrel tulajdonságait prímszám.
6. példa az egyenlet megoldásához 19 x + 89 y = 1989 természetes számok.
Átírni, így
X 19-1900 = 89-89 a
19 (x - 100) = 89 (1- y)
19. és 89. - viszonylag fix, az azt jelenti, hogy az egyenlőség lehetséges 3 esetben.
a) nincs megoldás, hiszen ∉ Ν; b) X = 11, Y = 20; c) X = 100, y = 1.
A: (11, 20); (100; 1).
6. módszer megoldja az egyenletet, ügyelve páros vagy páratlan kifejezéseket.
7. példa: Igazoljuk, hogy nincs megoldás az egyenlet:
x 2 + x + 1 = x (x + 1) + 1. Mivel x (x + 1) - egy még kifejezés,
x (x + 1) + 1 - páratlan. Négyzetgyöke páratlan a szám páratlan.
Hasonlóképpen - páratlan szám. Az összeg két páratlan szám még, hogy van, a bal oldalon, van egy páros szám, és a jobb oldalon - furcsa. Válasz: nincs megoldás.
8. példa Nézzük megoldani az egyenletet a egészek x 3 + y 3 - 3 = 2 xy.
Ha x és y páratlan, mindkettő, vagy egyik páratlan, akkor a bal oldalon az egyenlet száma páratlan és jobbra - még. Ebben az esetben nincs megoldás.
Ha x = 2 és m = 2 n. A 8 m 3 + n március 08-12 TN = 2, azaz a
2 (2 m 3 + n március 02-03-ban) = 1, ami lehetetlen bármely egész szám m és n.
Válasz: nincs megoldás.
7. módszerben venni a maradványoknak a szétválás.
Megoldásában sok határozatlan egyenletek érdemes megfigyelni a továbbra is a részleg a számok egy bizonyos számot.
Vegyünk egy példát, hogy feltárja a lényege ennek a módszernek.
9. példa megoldásához egyenlet egész számok 3x - 4y = 1.
A bal oldalon az egyenlet van osztva 3, ezért van osztva, és a jobb oldalon. Az osztás maradéktétel számában vagy osztva 3, vagy ha osztva 3-ad fennmaradó 1 vagy 2. Úgy véljük, három esetben.
- Ha y = 3m, m Z, majd 4Y + 1 = 4 · 3m + 1 = 12m + 1 nem osztható 3.
- Ha y = 3, m + 1, majd 4Y +1 = 4 · (3m + 1) +1 = 12m + 5 nem osztható 3.
- Ha y = 3, m + 2, majd 4Y +1 = 4 · (3m + 2) +1 = 12m + 9 osztható 3, így 3x = 12m + 9, tehát, X = 4m + 3, és y = 3m + 2.
A: ahol m Z.
8. Az eljárás egyenletek megoldására két változóval, mint egy négyzet képest az egyik változó.
10. példa Hogy oldja meg a egyenlet egész számok: 5x + 5Y 2 + 2 + 2y-8hu 2x + 2 = 0.
Tekintsük a másodfokú egyenlet x:
5x 2 + (8Y - 2) x + 5Y + 2 + 2y 2 = 0
D = (8Y - 2) 2 - 4 · 5 (5Y 2 + 2y + 2) = 2 64u - 32U + 4 - 100U 2 - 40U - 40 =
= -36 (y 2 + 2y + 1) = -36 (y + 1) 2
Látjuk, hogy a D 0. Ha D