Alapképletek trigonometria
Alapképletek trigonometria. lecke №1
Száma képletek használt trigonometrikus elég nagy (a „képlet” alatt nem határozza meg (például, TGX = sinx / cosx), és egyenlet azonos típusú sin2x = 2sinxcosx). Hogy könnyebb navigálni a rengeteg képletek és nem untatni diákok agyatlan tömés, meg kell különböztetni köztük a legfontosabb. A kis - csak három. E három képletek követi az összes többi. Ez - Pitagorasz-trigonometrikus identitás és a képletet a szinusz és koszinusz összegek és különbségek:
Sin 2 x + cos 2 x = 1 (1)
E három képletek kövesse abszolút minden tulajdonságai szinusz és koszinusz (frekvencia, nagysága az időszakban a szinusz érték 30 0 = π / 6 = 1/2, stb) Ebből a szempontból az iskolai program használ sok technikailag felesleges, redundáns információt. Így a formula „1-3” - az uralkodó a királyság trigonometrikus. Térjünk át Formula következményekkel jár:
Behelyettesítve (2) és (3) az értékét az x = y. kapjuk:
Cos2x = cos 2 x-sin 2 x; cos0 = cos 2 x + sin 2 x = 1
Mi következtetni, hogy SIN0 = 0; cos0 = 1 hivatkozás nélkül geometriai értelmezése a szinusz és koszinusz. Hasonlóképpen, a következő képlet segítségével „2-3” kétszer, tudjuk levezetni kifejezések sin3x; cos3x; sin4x; cos4x stb
Sin3x = sin (2x + x) = sin2xcosx + sinxcos2x = 2sinxcos 2 x + sinx (cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx (1-sin 2 x) + sinx (1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Feladat a diákok számára: hogy hasonló kifejezések cos3x; sin4x; cos4x
Problémák az inverz probléma mértékét kifejező a szinusz és koszinusz által a sinus és cosinus több szögből.
Például: cos2x = cos 2 x-sin 2 x = 2cos 2 x-1, így: cos 2 x = 1/2 + cos2x / 2
Cos2x = cos 2 x-sin 2 x = 1-2sin 2 x, így: sin 2 x = a fele-cos2x / 2
Ezek a képletek gyakran használjuk. Annak érdekében, hogy jobban megértsük őket, azt tanácsolom, hogy képviselje grafikonok a bal és jobb oldalán. Grafikon négyzetének a sinus és cosinus „zsineg” körül a létrehozott vonal „y = 1/2” (ez az az átlagos több mint sok idő a mért érték x és cos 2 sin 2 x). A lengések frekvenciájának megduplázódott képest az eredeti (az időszak az funkciók cos 2 x sin 2 x = 2π / 2 = π), és a rezgés amplitúdóját a felére csökken (1/2 arány, mielőtt cos2x).
Célkitűzés: Express 3 sin x; cos 3 x; 4 sin x; cos 4 x révén több szinuszok és koszinuszok szögek.
Segítségével periodicitás trigonometrikus függvények, amely lehetővé teszi számukra, hogy az A értékét minden negyedévben trigonometrikus kör értékei az első negyedévben. Csökkentési képlet nagyon speciális esetekben "fő" képletek (2-3) .Naprimer: cos (x + π / 2) = cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 = cosx * 0-sinx * 1 = sinx
Így, Cos (x + π / 2) = sinx
Célkitűzés: ahhoz, hogy a csökkentési képletek sin (x + π / 2); cos (x + 3 π / 2)
4) A képletek átalakítására a összege vagy különbsége a sinus és cosinus egy termék és vissza.
Mi írjuk a képletet a szinusz összeg és a különbség a két szög:
Sin (x + y) = sinxcosy + sinycosx (1)
Sin (x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Adjuk hozzá a bal és jobb oldalán ezen egyenletek:
Sin (x + y) + sin (x-y) = sinxcosy + sinycosx + sinxcosy -sinycosx
Ezek a kifejezések megszünteti, így:
Sin (x + y) + sin (x-y) = 2sinxcosy (*)
a) olvasás (*) rögtön:
Sinxcosy = 1/2 (sin (x + y) + sin (x-y)) (4)
A terméket a szinusz a két szög felével egyenlő összeget szinusz összegek és különbségek a szögek.
b) olvasási (*) balról jobbra kényelmes jelölésére:
xy = c. Ezért tapasztaljuk, hogy az x és y szempontjából p és s. összeadási és kivonási bal és jobb oldalán a két egyenletet:
X = (p + c) / 2, y = (b-c) / 2, behelyettesítve (*) helyett (x + y) és (x-y) származó új változók p és s. képviseli az összeget a termék szinusz:
sinp + sinc = 2sin (p + c) / 2cos (p-c) / 2 (5)
Ezért közvetlen következménye az alapvető képlet szinuszának összege és különbsége a szögek két új kapcsolat (4) és (5).
c) Most, ahelyett, összecsukható a bal és jobb oldalán az egyenleteket (1) és (2), vonjuk őket egymástól:
sin (x + y) - sin (x-y) = 2sinycosx (6)
Reading identitás jobbról balra eredményez képlethez hasonló (4), amely érdektelen, mert már tudjuk, hogyan helyezkedjenek el a darab a szinusz és koszinusz sine összeg (lásd. (4)). Olvasás (6) adja a képlet balról jobbra, minimalizálja a különbség a munka a melléküregek:
sinp - sinc = 2sin ((P-C) / 2) * cos ((p + c) / 2) (7)
Tehát az egyik alapvető azonosság sin (x ± y) = sinxcosy ± sinycosx, megvan a három új (4), (5), (7).
Hasonló munkát egy másik alapvető azonosság cos (x ± y) = cosxcosy ± sinxsiny már vezet négy új:
Cosxcosy = ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); COSP + COSC = 2cos ((p + c) / 2) cos ((P-C) / 2);
Sinxsiny = ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); COSP-COSC = -2sin ((P-C) / 2) sin ((p + c) / 2)
Célkitűzés: átalakítani a termék összege szinusz és koszinusz:
SiNx + otthonos =. Megoldás: ha megpróbálod nem levezetni a képlet, de azonnal válaszolni kandikál néhány trigonometrikus képletek asztal, és nem találja a kész eredményt. A diákok meg kell érteni, hogy nincs szükség, hogy megtanulják, és lép a táblázat újabb képlet sinx + otthonos = ..., mivel minden koszinusz leírható mint egy szinusz és fordítva, keresztül a csökkentési képlet, például: sinx = cos (π / 2 - x), kényelmes = sin (π / 2 - y). Ezért: sinx + otthonos = sinx + sin (π / 2 - y) = 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.
főmenü
125 222, Budapest, a / I 8,
új helyszínen
Kedves felhasználók és a látogatók a helyszínen.
pedagógiai folyóiratok
Verseny tanárok és nevelők
Joomla! - szabad szoftver a GNU / GPL licenc.
„Tanár-online” (bizonyítvány a tömegmédia nyilvántartási szám EL FS 77-42343 származó 20.10.10)